Humboldt-Universität zu Berlin - Wirtschaftswissen\=schaftliche Fakultät

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Berechnung von Zinsstrukturkurven und Analyse darauf aufbauender Handelstrategien

1. L₂-Modellierung: Summe der Quadrate

In der vorausgegangenen Seminararbeit "Berechnung und Bewertung von Handelsstrategien auf Basis geschätzter Zinsstrukturkurven im Internet" wurde für die Schätzung der Parameter der Zinsstrukturkurve das Schätzungsverfahren der Bundesbank in AMPL übertragen. Dabei wurden aus den aktuellen, täglich im Internet verfügbaren, Kursdaten von bundesemittierten festverzinslichen Wertpapieren die tatsächlich am Markt beobachtbaren Renditen in einem ersten Optimierungsproblem model1.mod und Zinsen1*.dat berechnet. Daran anschließend werden theoretische Renditen z(m, beta) - aus der Schätzungsgleichung von Svensson - in einem zweiten Optimierungsproblem ermittelt ( model2.mod und Zinsen2*.dat ), unter der Bedingung, daß sie sich so wenig wie möglich von den tatsächlichen Renditen unterscheiden sollen. Dabei werden gleichzeitig mit Hilfe dieser theoretischen Renditen z(m, beta) aus der Gleichung von Svensson die gewünschten Parameterbeta0, beta1, beta2, beta3, tau1 und tau2 für die Darstellung der Zinsstrukturkurve berechnet. Diese Parameter sind täglich neu zu ermitteln und definieren anhand der Svensson`schen Gleichung die Gestalt der Zinsstrukturkurve. Für die weitere Darstellung wurden nur für jede Laufzeit bis zu zehn Jahren einen Renditepunkt ermittelt.

Die erste Umsetzung dieses Lösungsansatzes findet sich im File model2.mod. Durch die Verbindung mit jedem zur Verfügung stehenden Datensatz Zinsen2_*.dat kann im AMPL-Programm für jeden betrachteten Tag eine Zinsstrukturkurve angezeigt werden. In dem Lösungsansatz des Files model2.mod wird die Zielfunktion so aufgestellt, daß die tatsächlichen Renditen mit den geschätzten Renditen eine möglichst kleine quadratische Abweichung aufweisen. Diese Formulierung wird wie folgt vorgenommen:

minimize Zielfunktion:

(sum{i in Wertpapiere} (Rendite[i]-Rendite_sch[i])^2);

Die weiteren Nebenbedingungen entsprechen den geforderten Bedingungen, die bereits in der ersten Diplomarbeit angegeben wurden. Sie werden in den verschiedenen Variationen des Modells nicht weiter verändert. Zur Verdeutlichung werden die einzelnen Nebenbedingungen kurz erläutert:

Die erste Nebenbedingung im File model2.mod stellt die Umsetzung des Svensson`schen Ansatzes dar. Dabei wird gefordert, daß die jährlichen Zinszahlungen und die Tilgungszahlung - einerseits abdiskontiert mit der geschätzten Rendite, andererseits abdiskontiert mit der Marktrendite - sich zum gleichen Ergebnis aufsummieren.

Die Nebenbedingungen beta0_1 und beta0_2 fordern, daß der Parameter beta0 nicht mehr als 300 Basispunkte unter oder über der Rendite des am längsten laufenden Wertpapieres liegt. Der Parameter beta0 kann damit als sehr langfristiger Zinssatz interpretiert werden.

2. Erstellung und Analyse der Algorithmen

2.1. Variationen des Lösungsalgorithmuses

Nun soll durch Variationen der Zielfunktion im zweiten Optimierungsproblem untersucht werden, inwieweit Modellierungsänderungen den Verlauf der Zinsstrukturkurve verändern. In Kapitel 4 wird anschließend analysiert, wie damit der Vorschlag von Handelsstrategien beeinflußt wird.

2.1.1. L₁-Modellierung: Summe der Absolutbeträge

Zuerst wird die Zielfunktion dahingehend variiert, daß nicht mehr die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert werden soll, sondern die Summe der absoluten Fehler. Damit soll untersucht werden, ob die Gestalt der Zinsstrukturkurve von der Formulierung des Zielkriteriums abhängt.

Die ursprüngliche Modellierung in AMPL lautete :

minimize Zielfunktion: (sum{i in Wertpapiere}

(Rendite[i]- Rendite_sch[i])^2);

Die neue Modellierung im File model2a.mod wurde wie folgt vorgenommen:

minimize Zielfunktion: sum {i in Wertpapiere} Error[i];

s.t. Nebenbedingung_1a {i in Wertpapiere}:

Error[i] + Rendite[i] - Rendite_sch[i]>=0;

s.t. Nebenbedingung_1b {i in Wertpapiere}:

Error[i] - Rendite[i] + Rendite_sch[i]>=0;

Hierbei stellt Rendite[i] die tatsächliche und Rendite_sch[i] die geschätzte Rendite dar. Die Abweichung zwischen den beiden Werten wird durch die Variable Error[i] abgebildet.

Die beiden weiteren Nebenbedingungen 1a und 1b ergeben den gewünschten Absolutbetrag für die zu berechnende Differenz in Form des Fehlers Error[i] . Durch das Setzen eines Absolutbetrages werden negative und positive Fehler nur noch mit ihrem Betrag berücksichtigt. Ansonsten würden sie sich bei einer einfacher Summierung aufheben. Mit dem Absolutbetrag wird nun ein ähnliches Zielfunktionskriterium wie schon in der ersten Version gebildet. Bei beiden Modellierungen werden die Vorzeichen der Abweichungen ignoriert. Durch die L₁-Modellierung aber, fließen kleine Abweichungen im gleichen Verhältnis in die Berechnung ein wie große Abweichungen. Bei der oben vorgestellten L₂-Modellierung geschieht dies nicht so. Kleine Abweichungen werden durch eine Quadrierung noch kleiner ( 0,01²= 0,0001 wobei 0,1² = 0,01) und fallen damit weniger ins Gewicht. Große Abweichungen haben dagegen einen stärkeren Einfluß auf den Zielfunktionswert.

Allgemein läßt sich feststellen, daß es für das Auffinden der optimalen Lösung mit dem L₁-Modell wichtig ist, daß als Startwerte im model2a.mod bei der Iteration annäherungsweise die Lösungswerte der ursprünglichen Modellierung verwendet werden.² Die Tabelle Startwerte gibt Aufschluß über die Lösungen, die sich aus der L₂-Modellierung ergeben haben. Diese Werte wurden jeweils als Startwerte bei den zwei letzteren Modellen verwendet. Diese Notwendigkeit hat sich ergeben, da bei der Iteration der Modelle das AMPL-Programm bereits bei einem lokalen Minimum in der Nähe der angegebenen Startwerte die Iteration abbricht und diese Lösung, anstatt das gesuchte globalen Minimum zu finden, als optimal ausgibt. Falls diese Anpassung nicht vorgenommen wird, kommt es bei der Iteration zu einem Ergebnis, das von der ersten Schätzung der Zinsstrukturkurve stark abweicht. Ein Vergleich zwischen den drei verschiedenen Modellen hätte damit keinen weiteren Sinn, da es sich jeweils um unterschiedliche Zinsstrukturkurven handelt.

Hervorzuheben ist auch, daß für die Darstellung der Zinsstrukturkurve nicht alle Parameter maßgeblich sind. Bei der L₁-Modellierung sind es die Parameter beta0, beta2 und beta3. Ein Beispiel für die Sensitivität der Kurven durch Startwertanpassungen wird in Kapitel 3.5 vorgenommen.

2.1.2. L_unendlich-Modellierung: Maximum der Absolutbeträge

Eine weitere Modifikation der Zielfunktion ist anhand folgender Überlegungen möglich. Anstatt wie bisher die Summe der einzelnen Approximationsfehler zu minimieren, soll nun versucht werden, durch die Minimierung des größten Approximationsfehlers eines einzelnen Wertpapiers eine gesamte Reduzierung der Fehler zu erreichen:

Dabei wird ebenfalls - wie unter 3.1.1. beschrieben - zuerst der Absolutbetrag der einzelnen Fehler Zet[i] berechnet. ( Eine andere Namenswahl der Fehler wurde nur zur Unterscheidung der verschiedenen Modelle gewählt. ) Danach wird der größte von allen Fehlern MAXZet ausgesucht und anschließend minimiert.

Die neue Modellierung im File model2b.mod wurde wie folgt vorgenommen:

minimize Zielfunktion : MAXZet;

s.t. Nebenbedingung_1a {i in Wertpapiere}:

Zet[i] + Rendite[i] - Rendite_sch[i]>=0;

s.t. Nebenbedingung_1b {i in Wertpapiere}:

Zet[i] - Rendite[i] + Rendite_sch[i]>=0;

s.t. Nebenbedingung_1c {i in Wertpapiere}:

MAXZet - Zet[i]>= 0;

Hier entspricht die Variable Zet[i] den einzelnen Abweichungen zwischen der tatsächlichen und der geschätzten Rendite jedes Wertpapiers . Die größte Abweichung aus den einzelnen Werten wird der Variablen MAXZet zugewiesen. Durch die Minimierung dieses größten Fehlers wird eine gesamte Reduzierung der Fehler erreicht.

Wie bereits oben dargestellt ist auch hier wieder eine Startwerteanpassung an die Daten der ursprünglichen Lösung von großer Bedeutung. Hierbei ist jedoch anzumerken, daß bei der L_unendlich-Modellierung eine sehr viel stärkere Sensitivität bezüglich der Startwertanpassung zu erkennen ist. Es ist teilweise nötig, die Startwerte bis in den Nachkommastellenbereich anzugeben, um zu einer vergleichbaren Zinsstrukturkurve zu kommen, wie sie bereits die ersten beiden Modelle aufweisen. Außerdem läßt sich feststellen, daß wieder nicht alle Parameter sehr stark einflußgebend bei der Gestaltung der Zinsstrukturkurve sind. In diesem Modell sind es die Parameter tau1 und tau2. Ein Beispiel für die Sensitivität auf die Startwertanpassung wird in Kapitel 3.5 vorgenommen.

2.1.3. Genauere Untersuchung des L_unendlich-Modells

Aufgrund der oben festgestellten extremeren Verläufe der Zinsstrukturkurve unter Modell 2b sollen nun die Auswirkungen auf den Kurvenverlauf grafisch dargestellt werden. Als Datenbasis werden hierfür nur drei bzw. vier Wertpapieren verwendet. Dabei werden die Zinsstrukturkurven der Modelle 2 und 2b miteinander verglichen. In dem Datenfile test1.dat werden anfangs nur drei beliebige Wertpapiere, anschließend ein viertes ausgesucht, um den Verlauf der Kurven aufzuzeigen. Aus technischen Gründen können die Werte für die Laufzeit im Datenfile Lunendlich nur in 0,02-Laufzeitschritten aufgeführt werden. Durch das Einsetzen der anderen Laufzeitwerte jedoch- unter Berücksichtigung der jeweiligen Parameterlösungen - könnten die restlichen Renditen zur Ermittlung der Zinsstrukturkurve berechnet werden. Eine Auswirkung auf den Verlauf der Kurve hat die reduzierte Datenmenge aber nicht. Diese Berechnung erfolgt sowohl für das Modell 2 als auch für das Modell 2b .

Anhand der grafischen Darstellung über den Verlauf der Kurven kann man schnell erkennen, daß die L_unendlich-Modellierung extrem sensitiv reagiert. Während die Kurve aus der L₂-Modellierung kleine Fehler hinnimmt und ihre ursprüngliche Form weitgehend beibehält, versucht sich die Kurve aus der L_unendlich-Modellierung so gut wie möglich den Werten anzupassen, wobei ein völlig anderer Verlauf realisiert werden kann. Teilweise wurden Kurven entwickelt, die kaum noch mit den Kurven aus dem Modell 2 vergleichbar waren.

Abbildung 3.5.2.1: Kurvenverläufe der Modelle 2 bzw. 2b

Aufgrund dieses eindeutigen Ergebnisses, ist eine weitere Betrachtung der L_unendlich-Modellierung für die Entwicklung von Handelsstrategien nicht mehr zu empfehlen, da diese Zinsstrukturkurve den tatsächlichen Verlauf der Renditen nicht in wünschenswerter Weise nachbilden kann.

3. Anlagestrategien

3.1. Theoretische Überlegungen zu den Anlagestrategien

Über die, aus den verschiedenen Modellen entwickelbare, Zinsstrukturkurve können nun Anlagestrategien auf täglicher Basis entwickelt werden. Dabei wird hauptsächlich die temporäre Abweichung der Kurse von den aus der Theorie bestimmbaren Marktwerten betrachtet. Dieses temporäre Marktungleichgewicht wird dahingehend ausgenutzt, indem man davon ausgeht, daß sich die Anleihepreise durch das Verwerten der Arbitragemöglichkeiten wieder ihrem "wahren Wert" angleichen. Diese Theorie des "wahren Wertes" geht auf Cohen-Zinbar und auf Büschgen zurück, die voraussetzen, daß die Kurse in unregelmäßigen Zyklen um ihre inneren Werte fluktuieren. Gründe für die Fluktuationen sind nach Büschgen Wellen von Überoptimismus und -pessimismus. Heutzutage sind die Anleger jedoch selbständiger in ihren Entscheidungen geworden. Dadurch müssen noch weitere Einflußfaktoren für eine Kauf- oder Verkaufsentscheidung berücksichtigt werden, die zu den temporären Marktungleichgewichten führen:

• Anleger haben ein unterschiedliches Interesse an der zukünftigen Entwicklung der Aktien. Einige wollen nur spekulieren, andere erhoffen sich langfristige Kurssteigerungen.
• Damit im Zusammenhang steht auch die divergierende Bereitschaft Informationsbeschaffungskosten - in Form von Zeit oder Weiterbildung - aufzuwenden.
• Bei vielen Investoren können auch nur Kapitalbedarfs- oder -überflußaspekte eine Rolle spielen.
• Darüber hinaus - wie diese Diplomarbeit auch zeigt - führen verschiedene Modelle auch zu verschiedenen Handelsempfehlungen.

Trotz eigenständigerem Handeln und einer einfachern Informationsbeschaffung werden einige Anleger immer noch von der Phantasie in den Märkten beeinflußt und ihre Anlagestrategien nach denen der "Masse" ausrichten. Dies führt zu den oft erkennbaren Überreaktionen der Börse.

Da die Aktienkurse durch die beschriebenen Einflüsse kurzzeitig von ihrem "wahren Wert" abweichen können, ist es möglich Handelsstrategien zur Ausnutzung von Arbitragegewinnen zu entwickeln. Sind die täglichen Preise bekannt und ist die tägliche Zinsstrukturkurve aus einem Prognosemodell ermittelt, kann man auf diesem Weg feststellen, inwieweit einzelne Anleihen am Markt - relativ zu diesem Modell - über- oder unterbewertet sind.

An einem kurzen Beispiel soll das erläutert werden:

Es wird ein normaler Verlauf einer Zinsstrukturkurve angenommen, wobei nach der Erwartungstheorie auch die erwarteten Zinsänderungen berücksichtigt werden. In diesem Diagramm verläuft die Zinsstrukturkurve durch einen Punkt mit einer Rendite von 4% und einer Restlaufzeit von 3 Jahren.

Abbildung 4.1.1: Zinsstrukturkurve mit über- und unterbewerteten Wertpapieren

Weiterhin existieren zwei Wertpapiere A und B mit einer Rendite r von 4,5 % bzw. 4 % und einer Restlaufzeit t von 3 bzw. 4,5 Jahren.

Wertpapier A liegt mit seinen Werten grafisch über der Zinsstrukturkurve. Hierbei wird aber nur die Rendite betrachtet. Um einen Kurs zu ermitteln, bedarf es einer Umformulierung:

wobei die Berechnung unter den einfachsten Annahmen durchgeführt wird.

Ist die Rendite des Wertpapieres A größer als die der Laufzeit entsprechende Rendite auf der Zinsstrukturkurve, führt das zu einem niedrigeren Kurs als bei einem Wertpapier, das auf der Zinsstrukturkurve liegt. Deshalb spricht man in diesem Fall von einer Unterbewertung des Wertpapiers.

Analog ist das Wertpapier B zu analysieren. Da hier die Rendite unterhalb der Zinsstrukturkurve liegt, stellt man bei der Berechnung des dazugehörigen Kurses eine Überbewertung fest. Dies läßt sich damit erklären, daß das Wertpapier B einen zu hohen Kurs im Verhältnis zu einem vergleichbaren Wertpapier auf der Zinsstrukturkurve hat.

Wie das oben dargestellte Beispiel zeigt, lassen sich nun aus dem Vergleich der tatsächlichen mit der theoretischen Rendite Schlüsse über die Kauf- bzw. Verkaufstrategien von Wertpapieren ziehen:

• Ist ein Wertpapier überbewertet, d.h. zu teuer, sollte es verkauft bzw. leerverkauft werden. (Wertpapier B)
• Umgekehrt sollte ein Wertpapier gekauft werden, falls eine Unterbewertung festgestellt wurde. (Wertpapier A)

3.2. Praktische Umsetzung der Anlagestrategien

Diese Bewertung wurde nun für jeden Tag, für jedes Wertpapier mit einer Restlaufzeit bis zu zehn Jahren und bezüglich jedes Modells vorgenommen. Es muß dabei beachtet werden, daß die Startwerte des Modelle 2a für jeden Tag neu angepaßt werden, da sich ansonsten die Zinsstrukturkurve aus einem anderen lokalen Minimum berechnet, als betrachtet wird. Im Vergleich zum Modell 2 würden die Handelsempfehlungen falsche Arbitragegewinne hervorbringen. Die Ergebnisse finden sich in dem Ordner Strategien jeweils unter den gewünschten Datensätzen Zinsen2_"Datum:ttmmjjjj". dat.

In den jeweiligen Datensätzen sind nacheinander für jedes Modell jeweils die Wertpapierkennnummer, die tatsächliche Marktrendite, die aus der Zinsstrukturkurve ermittelte Rendite, die Handelsempfehlung und der daraus resultierende absolute Gewinn notiert. Die Rendite aus der Zinsstrukturkurve wurde anhand eines weiteren Programms Eingabe ermittelt, in dem abhängig von der jeweiligen Restlaufzeit des Wertpapiers die zugehörige Rendite auf der Zinsstrukturkurve berechnet wird. Dies ist wiederum durch die Svensson-Gleichung möglich. Am Ende des Datensatzes gibt es einen Vergleich der beiden verschiedenen Modelle bezüglich des erwirtschafteten Gewinns an dem betrachteten Tag.

Zusätzlich wurde in der Datei Übersicht alle Arbitragegewinne aus dem betrachteten Zweimonatszeitraum aufsummiert. Dabei läßt sich abschließend folgender Gesamtertrag ermitteln, nachdem sowohl mit dem Modell 2 als auch mit dem Modell 2a die empfohlenen Handelsstrategien ausgeführt wurden. Es wurde hierbei nur die Differenz zwischen über- bzw. unterbewertetem Wertpapier und seinem Wert nach der Zinsstrukturkurve betrachtet.

Tabelle 4.2.1: Ergebnis der Handelsstrategien

Wurden über zwei Monate die Arbitragemöglichkeiten jedes Wertpapiers ausgenutzt, konnte ein Arbitragegewinn von ca. 0,69 EUR bei Nennbetrag von 100 EUR erwirtschaftet werden. Hierbei ist jedoch weitergehend zu bedenken, daß ein größerer Arbitragegewinn hätte erreicht werden können, wenn sich die Investitionen nur auf die Wertpapiere beschränkt hätten, die den größten Arbirtragegewinn erwarten ließen. Diese Betrachtung läßt Raum für eine weitere Diplomarbeit.

Um die sehr ähnlichen Gewinne grafisch noch mal darzustellen, wurde aus den oben aufgeführten Daten folgende Grafik erstellt:

Abbildung 4.2.1: Grafischer Vergleich der Gewinnerwartung

Die Verwertung der nun bekannten Über- bzw. Unterbewertungen von Wertpapieren soll nun anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Dabei muß von folgenden Annahmen ausgegangen werden:

• Die verwendete Zinsstrukturkurve wurde nach den Kriterien des Investors aufgestellt und wird von diesem als richtig vorausgesetzt. Eine Überprüfung der Zinsstrukturkurve ist nur in einem langfristigen Vergleich möglich, wobei täglich für jedes Wertpapier die unten aufgeführten Handelsstrategien ausgeführt werden müssen.
• Der Zinssatz für Kapitalanlage und -aufnahme ist gleich, bekannt und bleibt konstant.
• Bondstripping ist auch für kurzfristigere Anleihen möglich. Damit entsteht eine hohe Liquidität im gesamten Laufzeitspektrum an der Börse, und jederzeitige Käufe und Verkäufe sind durchführbar.
• Es erfolgt eine sofortige Ausführung der Strategie bei Erkennen einer Über- oder Unterbewertung. Es gibt keine weiteren Verzögerungen beim Kauf oder Verkauf. Dies ist in der Praxis durch eine zunehmende Verbreitung des Internets und seiner Online-Broker anzunehmen. Zusätzlich werden seit Januar 1997 alle Ad-hoc-Meldungen gleichzeitig für alle Anleger frei zugänglich im Internet und im Videotext veröffentlicht. Damit wird eine Filterstrategie, wie sie noch in der Diplomarbeit von Herrn Diesing verwendet wurde, irrelevant.
• Die Transaktionskosten können bei institutionellen Anlegern vernachlässigt werden. Die steuerliche Belastung bei dieser Anlagapolitk ist jeweils von der Restlaufzeit der Wertpapiere abhängig. Jedes Wertpapier wird dabei, unabhänig von den sonsigen Kauf- und Verkaufsentscheidungen, einzeln betrachtet.

Verena Kessler, Mail: verena@akwd.de, Mai 2001